Burghart Klaussner compie gli studi a Berlino, sua città natale, e li completa frequentando un corso di recitazione alla Max Reinhard School. Esordisce sul palcoscenico nella commedia ambientata in Vietnam "Pinkville", scritta da George Tabori, che cura anche la regia dell'opera. Da allora, lavora in quasi tutti i più importanti teatri tedeschi e nel 2006 esordisce anche come regista all'Hamburger Kammerspiele. Nel 2012 viene insignito del premio teatrale tedesco "Der Faust" come Miglior attore per il suo ritratto del protagonista che dà il titolo all'opera "Morte di un commesso viaggiatore" ad Amburgo.
A seguito del suo ruolo d'esordio nel lungometraggio cinematografico nel 1980 (il protagonista di Ziemlich Weit Weg) e in numerose altre pellicole, diventa conosciuto da un pubblico più vasto attraverso una serie di personaggi in film di successo quali Das Superweib The Superwife! (1995), Rossini (1996) e Good Bye, Lenin! (2003). Nel 2006, il film Requiem (2005) gli vale una candidatura al German Film Award come Miglior attore non protagonista, premio che ha vinto l'anno prima per la sua interpretazione in The Edukators (2004).
Al Festival Internazionale del Film di Locarno, Burghart Klaussner consegue il Leopardo d'Argento come Miglior attore per il ruolo da protagonista interpretato in Der Mann von der Botschaft (The Man from the Embassy, (2006). Dal 1985 appare anche in molti film e serie per la televisione. Nel 2008, per il personaggio incarnato in Der Novembermann (2007) viene candidato alla Golden Camera per il Miglior attore tedesco. Regala interpretazioni convincenti anche in film di produzione internazionale come l'adattamento cinematografico candidato all'Oscar di A voce alta - The Reader (2008) e il film drammatico di Michael Haneke Il nastro bianco (2009), vincitore della Palma d'Oro al Festival del film di Cannes e in seguito del Golden Globe e dello European Film Award, e candidato all'Oscar nella categoria Miglior film straniero. Per la sua interpretazione, nel 2010 Burghart Klaussner conquista il premio della critica cinematografica tedesca e il German Film Award come Miglior attore. Tra gli altri film a cui partecipa, ricordiamo Diplomacy - Una notte per salvare Parigi (2014) di Volker Schlondorff, Zwischen Welten (2013) di Feo Aladag, Das Letzte Schweigen (The Silence, (2009) di Baran Bo Odar, Goethe! (2009) di Philipp Stolzl, Lezioni di sogni (2010) di Sebastian Grobler e Invasion (2011) di Dito Tsintadze. Nel contesto della Berlinale 2013, insieme ad Isabella Rossellini, inaugura il Children's Film Festival con Nono, het ZigZag Kind (2012).
Inoltre, è nel cast di Treno di notte per Lisbona (2012) di Bille August. Nel lungometraggio di Oliver Hirschbiegel Elser (13 Minutes, 2014) interpreta il ruolo del SS-Gruppenfuhrer, il Generale Maggiore delle SS, Arthur Nebe, che gli vale la quarta candidatura ai German Film Awards. Più recentemente ha partecipato al thriller di Steven Spielberg Il ponte delle spie (2015).
È membro della Freie Akademie der Kunste di Amburgo e della German Film Academy, nel cui consiglio di amministrazione è stato eletto nel 2010.