Adora recitare sin dai tempi dell'infanzia quando, con la sorellina, allestisce spettacolini per i vicini. Poi, col passare degli anni, le "Weston Sisters" danno vita a piccoli show decisamente caratteristici, portandoli in giro per i locali del Sud Carolina.
Nonostante la stoffa da palcoscenico, la giovane Celia si iscrive al college di Winston-Salem dove consegue la laurea in Psicologia. Tuttavia, non esercita la professione di medico per dedicarsi al teatro: conseguito il diploma attoriale presso la North Carolina School of the Arts, la ragazza vola a Londra per continuare a studiare improvvisazione. Tornata negli States nel 1977, prosegue la sua formazione artistica nella Grande Mela sotto la guida di Uta Hagen ed Herbert Berghof. Ormai 28enne, la Weston esordisce a Broadway con "Loose Ends", al fianco di Kevin Kline.
Il 1981 la vede debuttare al cinema nella comedy Crazy Runners - Quei pazzi pazzi sulle autostrade, diretta da John Schlesinger. Nello stesso periodo viene scritturata nel cast della sitcom Alice, sequel televisivo di Alice non abita più quidi Scorsese, in cui si cimenta nella bizzarra cameriera della tavola calda, Jolene. Successivamente l'attrice incarna: una madre annientata dal dolore in Dead Man Walking - Condannato a Morte, l'eccentrica paziente che divide il reparto psichiatrico con Kevin Spacey in K-PAX - Da un altro mondo, nonché la mamma di uno scavezzacollo come Matthew McConaughey in Come farsi lasciare in 10 giorni.
È inoltre sul verdastro set di Hulk, in quello corrotto de La Giuria ma anche in quello dell'inquietante The Village di M. Night Shyamalan. Nel 2007, è l'amorevole nonna di uno squilibrato Joshua alias Jacob Kogan. Compare, infine, nel culinario Sapori e dissapori e nello sci-fi Invasion.