Figlio di un imprenditore edile che lavorava in Egitto, Alessandrini studiò a Londra. Nel 1928, appena ventiquattrenne, iniziò la carriera cinematografica come assistente di Alessandro Blasetti, di soli quattro anni più anziano di lui, che esordiva come regista con il film Sole. L'anno successivo Alessandrini affrontò la sua prima esperienza registica con un documentario, La diga di Magmod, e subito dopo si trasferì per circa due anni ad Hollywood, presso una delle case cinematografiche più prestigiose, la Metro Goldwin Mayer; qui, che, data la sua ottima conoscenza dell'inglese, gli fu affidata l'edizione della versione italiana di film americani di successo. Tornato in Italia nel 1931, realizzò il suo primo film, La segretaria privata, rifacimento di una pellicola tedesca di W. Thiele, riportando un notevole successo grazie anche all'interpretazione della protagonista da parte di Elsa Merlini, attrice brillante di grandi capacità comunicative. Nel 1936, Alessandrini sposò l'attrice Anna Magnani, passata dal teatro di rivista al cinema e dotata di grandi doti sia comiche che drammatiche; ma il matrimonio fallì dopo soli quattro anni, nel 1940. Durante il regime fascista, la carriera di Alessandrini, come quella di altri registi quali Blasetti, Camerini e Genina, conobbe il suo periodo più brillante. Fra il 1936 e il 1942, egli seppe trarre, da interessanti soggetti, film suggestivi, di grande presa sul pubblico, elogiati dalla critica e premiati a Venezia, quali Cavalleria, Giarabub, Noi vivi, Abuna Messias, Addio, Kira, Luciano Serra, pilota, che ebbe come acclamatissimo protagonista Amedeo Nazzari, uno dei divi del momento e al quale collaborò anche uno dei figli di Mussolini, Vittorio. Come si può facilmente dedurre dai titoli, il successo di queste opere fu, almeno in parte, dovuto alla palese adesione del regista alla politica del regime, un atteggiamento che si sarebbe però rivelato un'arma a doppio taglio; infatti, nell'immediato dopoguerra, l'attività di Alessandrini si ridusse moltissimo, anche perché egli non riuscì ad inserirsi costruttivamente nel ben diverso clima espressivo creato dal neorealismo. Questa corrente, che avrebbe rinnovato in modo decisivo l'intero clima culturale italiano, si sviluppò fra il 1945 e i primi anni Cinquanta; contrapponendosi in modo assoluto ad ogni aspetto dell'ideologia fascista, fedele ad un'ottica realistica fino alla crudezza, essa traeva ispirazione per i suoi film dolorosi e profondi dalla descrizione di episodi della Resistenza e della dolorosa condizione dell'Italia dell'immediato dopoguerra. In conseguenza di questo profondo cambiamento di ideologia e di gusto, Alessandrini rimase, benché ancora giovane, ai margini della produzione cinematografica; al contrario, in questi anni, trionfò, perfettamente adeguato alle nuove esigenze estetiche e morali, il sanguigno talento drammatico della sua ex moglie Anna Magnani, splendida protagonista del film icona del neorealismo, Roma, città aperta, di Roberto Rossellini (1945). Dopo alcune pellicole di discreto interesse, come L'ebreo errante (1948) e Camicie rosse (1952), Alessandrini lavorò come supervisore di film non suoi, facendo anche qualche apparizione come attore, ma sempre in ruoli di secondo piano (1964-1967). Prima di scomparire nel 1978, ormai dimenticato, egli chiuse la sua carriera con un lavoro televisivo, sceneggiando con Biancoli e Levi Donna e bambino, un episodio di Storie italiane.