Brannigan è nato a Glasgow, in Scozia. Entrambi i suoi genitori erano tossicodipendenti e gran parte della sua giovinezza è stata spesa tra violenza e microcriminalità. Tanto che ha trascorso un periodo in un carcere minorile e ha ammesso di aver tentato il suicidio all'età di dieci anni.
Brannigan ha iniziato la sua carriera cinematografica con Ken Loach, interpretando Robbie ne La parte degli angeli, girato in gran parte a Glasgow. Per questo ruolo ha ottenuto una nomination per il BAFTA Scotland come miglior attore. Nel 2014 interpreta Andrew in Under the skin di Janathan Glazer.
Brannigan vive con la sua fidanzata, Sheree Coutts, e suo figlio, Leon.
