Originario della Carolina del Sud, Boseman si laurea in regia presso la Howard University di Washington, per poi completare gli studi alla British American Drama Academy di Oxford.
Nel 2003 partecipa a un episodio della serie televisiva Squadra Emergenza, e successivamente compare in serie di successo come CSI: New York, Cold Case, E.R., Lie to me; finchè nel 2007 si fa notare grazie al ruolo ricorrente di Nathaniel "Nate" Ray nella serie televisiva Lincoln Heights - Ritorno a casa.
Il suo debutto cinematografico è nel film ispirato alla vita del giocatore di football americano Ernie Davis, The Express. Anche i due film successivi sono a tema sportivo: 42 racconta la storia del primo giocatore di baseball professionista di colore e in Draft Day il manager di una squadra di football in difficoltà cerca di assicurarsi il miglior giocatore sul mercato.
Oltre all'attività di interprete, Baseman si dedica anche alla regia e alla scrittura. Ha infatti diretto due cortometraggi e ha scritto l'opera teatrale "Deep Azure", candidata nel 2006 al premio Joseph Jefferson.
Nel 2014 è il protagonista di Get On Up, il biopic sul re del soul James Brown, e ha firmato un contratto per interpretare il personaggio di Pantera Nera nei prossimi cinque film della Marvel. Nel 2016 è nel cast di Gods of Egypt diretto da Alex Proyas, al quale seguono Captain America: Civil War, Avengers: Infinity War e il capitolo conclusivo Avengers: Endgame. Il grande successo lo ottiene grazie a Black Panther nel 2019, dov'è il protagonista assoluto.
Muore il 28 agosto 2020 a soli 43 anni, a causa di un tumore al colon.