Noto soprattutto per aver interpretato l' "Undicesimo Dottore", colui che ha interpretato l'undicesima reincarnazione del personaggio del Dottore della serie televisiva di fantascienza Doctor Who.
Con un promettente futuro nel calcio, il giovane Matt si trova costretto a rinunciare alla carriera sportiva in seguito a un infortunio alla schiena. Dopo aver studiato recitazione e scrittura creativa all'Università di East Anglia, inizia dunque ad esibirsi nel 2003 in opere come "Murder in the Cathedral", "Fresh Kills", "The History Boys and On the Shore of the Wide World" nei teatri di Londra.
Prima del Doctor Who, il primo ruolo televisivo arriva nel 2006 come Jim Taylor negli adattamenti della BBC delle opere di Philip Pullman The Ruby in the Smoke e The Shadow in the North, mentre il suo primo ruolo importante in televisione è quello di Danny nella serie della BBC Party Animals (2007). Nel 2010 lo troviamo protagonista insieme ad Eva Green del film fantascientifico Womb, e qualche anno più tardi partecipa all'atteso quinto capitolo della saga di Terminator, Terminator Genisys (2015).