Allievo dell'Accademia Nazionale d'Arte drammatica di Roma, alla quale si iscrisse dopo avere abbandonato gli studi di giurisprudenza, fu notato da Giorgio De Lullo, che lo chiamò a far parte della Compagnia dei Giovani, affidandogli una parte ne Il diario di Anna Frank (1957). Ebbe così inizio, per Orsini, una lunga carriera teatrale, in cui, benché non gli fossero state offerte molte occasioni di interpretare ruoli di protagonista assoluto, ebbe tuttavia modo di far valere le sue eccellenti qualità, in caratterizzazioni incisive e di sorprendente versatilità. La sua bella presenza fisica, la naturale eleganza e l'ottimo controllo dei mezzi espressivi fecero sì che, negli anni Sessanta, Orsini fosse un attore molto richiesto anche in televisione. Presente in numerosi sceneggiati, dal 1960 al 1969, dopo avere esordito con una parte ne La Pisana, lo sceneggiato diretto da Giacomo Vaccari e tratto dal romanzo Le confessioni di un ottuagenario di Ippolito Nievo (Lydia Alfonsi ne fu la straordinaria protagonista femminile), nel 1965 si fece notare nelle vesti del giovane Grinev, il protagonista de La figlia del capitano, tratto dall'omonimo romanzo di Puskin e diretto da Leonardo Cortese. In esso, Orsini recitò al fianco di Amedeo Nazzari, perfetto nella parte del cosacco ribelle Pugacev. Nel 1969, fu invece uno dei fratelli Karamazov, il raffinato, gelido e razionale Ivan, nello sceneggiato omonimo diretto da Sandro Bolchi e tratto dal romanzo di Dostoevskji. L'attività di Orsini nel cinema fu meno ricca di quella teatrale e televisiva, ma comunque sempre di notevole qualità. Nel 1960 apparve infatti ne La dolce vita di Federico Fellini, nel ruolo del giovane che aiutava l'attrice Nadia Gray a togliersi gli ultimi veli nella famosa scena dello spogliarello alla festa; due anni dopo, fu il protagonista ne Il mare di Giuseppe Patroni-Griffi, interpretando con eccezionale bravura il ruolo di un attore che sente nascere in sé un amore omosessuale per un giovane. Richiesto anche dal cinema internazionale, Orsini ebbe tuttavia la sua vera, grande occasione solo nel 1969, quando fu scelto da Luchino Visconti per il suo film La caduta degli dèi. In esso ebbe la parte del protagonista, Herbert, che, allontanato dal padre dalla direzione delle acciaierie di famiglia a causa delle sue idee politiche, è costretto dai nazisti a fuggire all'estero con la moglie e i figli; un'interpretazione per cui ottenne il Nastro d'Argento come migliore attore non protagonista. Visconti lo volle ancora nel 1973 in un altro suo film, Ludwig, affidandogli l'ambiguo personaggio di Holnstein, il favorito del re, che poi ordì contro di lui una congiura per spodestarlo. Orsini intrecciò una costruttiva collaborazione anche con il regista francese Claude Sautet, che ne 1972 gli offrì una parte in E' simpatico, ma gli romperei il muso e, due anni dopo, lo volle nel ruolo di Jacques, un giovanotto italiano scanzonato e libertino, nel film Tre amici, le mogli e (affettuosamente) le altre. Degne di nota sono anche le interpretazioni di personaggi minori, ai quali Orsini diede vita, negli anni Settanta, in vari film diretti da validi registi italiani; egli fu infatti il crudele e cinico squadrista fiorentino Amerigo Dumini ne Il delitto Matteotti, di Florestano Vancini (1973); impersonò lo sfortunato patriota Angelotti in Tosca, di Luigi Magni (1973); fu il cognato del filosofo Federico Nietzche in Al di là del bene e del male, diretto nel 1977 da Liliana Cavani. Tuttavia, nessuna di queste interpretazioni, per quanto eccellenti, può essere paragonata con la prova veramente superlativa che Orsini diede di sé nel 1980, in un film di Mino Bellei, Bionda fragola, nel quale interpretò, da grande attore brillante, il personaggio di un bizzoso ragioniere omosessuale. Dal 1980 in poi, Orsini preferì ritornare al teatro, come direttore artistico del Teatro Eliseo di Roma, insieme a Gabriele Lavia e a Rossella Falk. Da allora, eccetto un'apparizione nel film Pasolini, un delitto italiano, diretto nel 1995 da Marco Tullio Giordana (con il quale aveva già lavorato in TV nel 1985, interpretando il ruolo di Bruno Spada nello sceneggiato Notti e nebbie), si è dedicato quasi esclusivamente al teatro.