Prima di entrare in marina durante la Seconda Guerra Mondiale, Mulligan frequenta la Fordham University. Finita la guerra ottiene un impiego presso la redazione del New York Times ma lo lascia per dedicarsi alla carriera televisiva. Inizia dal basso, come fattorino all'interno della CBS, ma la sua tenacia e il suo talento lo portano a crescere e nel 1948 inizia a dirigere le prime serie; nel 1959 vince un Emmy per la regia di The Moon and Sixpence che segna anche il debutto sul piccolo schermo di Laurence Olivier.
Parallelamente si fa notare anche in ambito cinematografico; nel 1957 esordisce alla regia del lungometraggio Prigioniero della paura, e tre anni dopo torna alla celluloide con Ragazzi di provincia (1960). Seguono Il grande impostore e Torna a settembre (1961), con Gina Lollobrigida e Rock Hudson, e grazie a Il buio oltre la siepe (1962) Robert Mulligan ottiene la nomination all'Oscar e al Directors Guild of America. Dieci anni dopo, per Quell'estate del '42, guadagna un'altra nomination al Directors Guild of America e una ai Golden Globe. L'ultimo film che lo vede dietro la macchina da presa è del 1991, L'uomo della luna. Muore nel Connecticut all'età di 83 anni per problemi cardiaci.