È una delle attrici più rispettate della sua generazione, ha iniziato a lavorare a teatro all'inizio degli anni '80. La sua carriera televisiva ha spiccato il volo da quando è apparsa nella popolare serie Tv tratta dai romanzi di Catherine Cookson, dal titolo The Mallens. Tuttavia, è stato negli anni '90 che Juliet si è costruita un nome in ambito cinematografico, grazie al film Il Fantasma Innamorato, dove la sua performance le ha fatto vincere l'Evening Standard Film Award come Migliore Attrice. Ha inoltre vinto il Premio Laurence Olivier come Migliore Attrice per Death and the Maiden e ha ottenuto una nomination ai BAFTA per The Politician's Wife. Di recente è apparsa in Sognando Beckham, Mona Lisa Smile e Complicità e Sospetti di Anthony Minghella. Oltre a lavorare attivamente anche in ambito televisivo e radiofonico, la Stevenson di recente si è esibita a teatro in Beckett Shorts, Le Relazioni Pericolose e Così è se vi Pare con la Royal Shakespeare Company, in The Seagull presso il National, e in Alice Trilogy presso il Royal Court.
