Nato e cresciuto a York, si iscrive alla Royal Academy of Dramatic Arts di Londra e la frequenta dal 1982 al 1984. Conclusa la sua istruzione, lavora principalmente nel piccolo schermo, prendendo parte ad alcuni telefilm britannici: The Ritz (1987) e The Continental (1987) di John Godber e Martin Shardlow, A Very Peculiar Practice (1988) di David Tucker e l'americano Sposati con figli (1992). Sono solo piccole apparizioni, ma che comunque gli faranno comprendere il genere nel quale intende lavorare: la commedia.

L'esordio cinematografico
Nel 1990, debutta per la prima volta al cinema con la pellicola horror a episodi Dark Romances Vol. 2 diretta da Rodd Matsui, Patricia Miller, Bryan Moore, Samuel Oldham, Mark Shepard e John Strysik. Non è un grande esordio e anche i film che farà successivamente non sono molto incoraggianti nella sua carriera, per questi motivi preferisce ancora il piccolo schermo (Sbirri da sballo, 1996).

Il successo in Full Monty
Sposato con Kelly Johnson, ha da lei tre figli: Ruby, Charlie e Oscar. Una famiglia molto unita cui baderà con molto affetto. Nel frattempo, lavora come uno dei personaggi protagonisti della serie tv Sunnyside farm (1997) ed è proprio questo serial che lo farà notare da Peter Cattaneo, il quale lo sceglierà per il ruolo di Dave, il disoccupato spogliarellista nel film cult Full Monty - Squattrinati organizzati (1997). Un ruolo calzante per Addy che verrà nominato al BAFTA come miglior attore non protagonista, ma anche all'MTV Award per la migliore sequenza danzante.

Altri lavori
Amatissimo in America, prenderà parte alla sitcom Still Standing (2002-2006), poi lavorerà accanto a Dustin Hoffman in La versione di Barney (2010) e nel film di Ridley Scott Robin Hood (2010) con William Hurt.