Nato il 15 gennaio 1960 a Beaumont, in Texas, ha da sempre la passione per il disegno e l'animazione che lo spingerà, all'età di 17 anni, a scrivere una lettera al Walt Disney Studios chiedendo loro di entrare a far parte dello staff. L'allora produttore manager Don Duckwall, incoraggiò Asbury a portare qualche disegno e a proseguire comunque gli studi che lui ultimò alla Lama University e al California Institute od the Arts, diventando amico di futuri compagni di lavoro come Rob Minkoff, Kirk Wise, Gary Trousdale, Bruce Smith e Chris Sanders. Entrato a lavorare nel dipartimento artistico e di animazione della Disney (e non solo di quella), disegna personaggi per lungometraggi animati e digitali come: I piccoli (1984); Taron e la pentola magica (1985); La sirenetta (1989); Bianca e Bernie nella terra dei canguri (1990); La bella e la bestia (1991); Nightmare Before Christmas (1993); Toy Story - Il mondo dei giocattoli (1995); James e la pesca gigante (1996); Il principe d'Egitto (1998); Shrek (2001); Madagascar 2 - Via dall'isola (2008) e Kung Fu Panda (2008).

I film come regista
Nel 2002 dirige il suo primo lungometraggio animato: Spirit - Cavallo selvaggio, storia di un equino accompagnata da silenzi, zoccoli e ballate. Il film è di una semplicità e di uno splendore mozzafiato e la DreamWorks, che ha ereditato Asbury dalla Disney, capisce di avere fra le mani una gallina dalle uova d'oro che si conferma con la direzione del sequel Shrek 2 (2004), all'interno del quale Asbury deride Hollywood e altre fiabe fra allusioni e umorismo beffardo all'insegna del politicamente scorretto. Nel 2011 arriva invece Gnomeo & Giulietta, liberamente ispirato dall'opera teatrale di William Shakespeare "Romeo e Giulietta". Il 2017 è l'anno dell'avventura de I puffi - Viaggio nella foresta segreta.