Suo padre era un manager di un'industria elettronica e sua madre era medico. Dopo il diploma di scuola media superiore, studiò alla Lvov Polytechnical Institute, ma prestò abbandonò gli studi per arruolarsi nell'esercito sovietico dove restò per due anni. Nel 1988 suo padre fu nominato Vice Ministro della Radio dell'Unione Sovietica e la famiglia si trasferì a Mosca dove Gosha cominciò, senza concluderli, gli studi d'Ingegneria. Nonostante un difetto di pronuncia che sembrava sbarrargli le porte della recitazione, nel 1990 Kutsenko riuscì ad entrare nella famosa Scuola d'Arte Drammatica di Mosca. Qui studiò recitazione con Ivan Tarkhanov imparando a controllare il suo difetto, prima di ottenere il diploma di attore nel 1992. Il suo debutto cinematografico fu Chelovek is komandy Alfa (1991) cui seguì Mummy from a case (1991). Nel periodo 1995-1997 prese parte ad un popolare TV show chiamato Partiinaia Zona su TV-6. Dal 1996 al 2000 insegnò recitazione presso l'Istituto Nazionale di Cinematografia di Mosca. Kutsenko divenne famoso dopo il ruolo di protagonista in Mama, ne goryuy (1998), una popolare serie televisiva mentre il successo internazionale giunse con i vampireschi Night Watch (2004) e Night Watch 2 (2006), primi blockbuster russi ad imporsi in tutto il mondo. Continua a recitare nei teatri, sia in parti di autori contemporanei sia interpretando i classici del teatro russo. Come se non bastasse il poliedrico Yuri è anche leader e cantante di un gruppo rock, gli Anatomy of Soul: in Mars lo si può sentire interpretare una ballata di sua stessa composizione.