Ha lavorato per la prima volta per il grande schermo realizzando le scenografie del film di Steven Spielberg E.T.  L'extra terrestre, ottenendo una candidatura al premio BAFTA per le Migliori Scenografie. È poi tornato a lavorare con Spielberg nei film Always - Per sempre e Ai confini della realtà.
Tra gli altri film per i quali Bissell ha realizzato le scenografie ricordiamo Il gioco del falco, Il ragazzo che sapeva volare, Bigfoot e i suoi amici, Chi protegge il testimone, Gemelli, Aracnofobia, The Rocketeer, Jumanji, Tin Cup, Fuga dalla Casa Bianca, Cats & Dogs, Il sesto giorno, Hollywood Homicide, The Ring 2 e il film che ha segnato il debutto alla regia di George Clooney Confessioni di una mente pericolosa. All'inizio della carriera, Bissell ha vinto un premio Emmy per le Scenografie di una Serie Televisiva, per il suo lavoro in Palmerstown, U.S.A.. Più di recente, Bissell ha realizzato le scenografie di 300, il film di grande successo della Warner Bros., e del film di prossima uscita Leatherheads, scritto, diretto ed interpretato da George Clooney.
Il suo lavoro in Good Night, and Good Luck gli ha valso candidature ai premi della Art Directors Guild e della Academy of Motion Picture Arts and Sciences, oltre al premio Satellite per le Migliori Scenografie. Nel 2005 il film ha anche ottenuto una candidatura al premio 2046 per le Migliori Scenografie, assegnato dai Los Angeles Film Critics.
Bissell si è laureato alla University of North Carolina di Chapel Hill conseguendo un BFA in Theater. Continua ad insegnare e a condurre seminari, quando trova il tempo, sull'arte della scenografia.