Dopo essersi trasferito a Roma, si laureò in Lettere e divenne poi allievo del Centro Sperimentale di Cinematografia. In seguito, iniziò una collaborazione come critico, dapprima sulla rivista cinematografica «Bianco e nero», poi su «Cinema» (vecchia serie, 1938-1942), di cui divenne direttore nel 1943. Negli stessi anni, la passione di Puccini per il cinema passò dalla teoria alla pratica, con la stesura di alcune sceneggiature, la prima delle quali fu quella per Don Pasquale, di Camillo Mastrocinque, seguita, sempre nel 1943, da una seconda, in collaborazione, per un celebre film di Luchino Visconti Ossessione. Nel periodo del dopoguerra continuò l'attività di giornalista e di critico come condirettore e poi direttore di «Film d'oggi» (1945-46), scrivendo anche, dal 1947 al 1958, sceneggiature soprattutto per i film di Giuseppe De Santis. Dal 1951 esordì nella regia, iniziando con un film, Il capitano di Venezia (1952, edito nel 1954), di cui fu anche sceneggiatore; poi diresse con Nanni Loy Parola di ladro (1957), una brillante storia ambientata nell'Italia prefascista, di cui fu anche soggettista e sceneggiatore. Nel 1958 uscì Il marito, sempre diretto con Nanni Loy, un film scritto su misura per Alberto Sordi e fedele alle tematiche più congeniali a questo attore. Dopo un paio di film di non particolare importanza artistica, Puccini attirò l'attenzione della critica e del pubblico con un'opera nuova ed arguta, L'impiegato (1959), che può essere considerato il suo film migliore, al quale fece seguito, nel 1960, un'altra gradevole opera, Il carro armato dell'8 settembre. Nel 1962 Puccini realizzò L'attico, un film con cui tentò di sviluppare temi attuali e di più evidente impegno sociale, narrando le esperienze di due ragazze in cerca di una sistemazione a Roma. Negli anni seguenti lavorò ad altri film, alcuni dei quali ad episodi e caratterizzati qua e là da contenuti di un certo impegno, pur senza superare i limiti di un valido prodotto commerciale. Di ben altro livello fu invece il film con cui Puccini concluse la carriera, I sette fratelli Cervi (1968), opera che descrive, senza enfasi e con attenta ricerca critica, un drammatico episodio della nostra storia più recente e in cui il regista seppe esprimersi con un linguaggio delle immagini perfettamente adeguato al contenuto civile e politico dell'argomento. Figlio dello scrittore Mario Puccini, ebbe un fratello, Massimo, anch'egli regista, che era solito firmare le sue opere con lo pseudonimo di Massimo Mida (vedi).