È nato in Nuova Zelanda nel 1956 e cresciuto nelle Filippine, in Svezia e Inghilterra. Vive a Londra, tra viaggi e ritorni, da più di 20 anni. Dopo aver lasciato l’Università di Oxford nel 1978, ha cominciato a scrivere commedie. A Oxford, Curtis ha lavorato con Rowan Atkinson,e ancora continua. Il suo primo lavoro per la televisione è stato scrivere per le quattro stagioni della BBC di Not the Nine O’Clock News. Ha continuato scrivendo la serie Blackadder, una situation comedy ambientata in quattro periodi differenti della storia inglese, con Rowan Atkinson come protagonista ogni volta con una divertente nuova pettinatura. Le ultime tre stagioni Curtis le ha scritte insieme a Ben Elton.
In questi anni, Curtis, Atkinson e Elton hanno messo in scena due revues comiche al West End di Londra e Curtis ha scritto il suo primo film, Due metri di allergia, diretto da Mel Smith con Jeff Goldblum, Emma Thompson (al suo esordio cinematografico) e Rowan Atkinson nei panni di un comico crudele e senza cuore che è il protagonista di uno spettacolo nel West End. Il film non era autobiografico ed è stato prodotto dalla Working Title, la società di produzione con la quale da allora Curtis ha sempre lavorato.
Tornati alla televisione, Curtis e Atkinson hanno cominciato a lavorare Mr. Bean, e hanno continuato per svariati anni a fare programmi intermittenti con protagonista l’uomo con la cravatta che parla pochissimo. Nel 1991, Curtis ha scritto Bernard and the Genie, una fantasia natalizia con Lenny Henry e Alan Cumming. A dicembre 1993, Curtis ha ricevuto un riconoscimanto alla carriera dalla Writers Guild of Great Britain.
Il suo secondo film, Quattro matrimoni e un funerale, con Hugh Grant e Andie MacDowell, è stato diretto da Mike Newell, prodotto da Duncan Kenworthy ed è uscito nelle sale a marzo 1994. Il film ha vinto il premio francese César, un Australian Film Institute Award per Miglior Film Straniero e un BAFTA per Miglior Film. Agli Oscar®, il film è stato candidato per Migliore Sceneggiatura Originale e Miglior Film.
Nel 1994, Richard è stato nominato MBE e ha cominciato a scrivere The Vicar of Dibley, una situation comedy per la BBC, con Dawn French nel ruolo di una donna-parroco di un piccolo paese sospettosamente pieno di personaggi eccentrici. Il film Bean, scritto insieme a Robin Driscoll, diretto da Mel Smith e con Rowan Atkinson è uscito in Inghilterra alla fine di agosto nel 1997.
Il suo film successvo, Notting Hill, interpretato da Julia Roberts e Hugh Grant, è uscito a maggio 1999 – e per un lungo periodo è stato il film inglese con i maggiori incassi di tutti i tempi. Nel 2001, Richard ha collaborato alla sceneggiatura del film pluripremiato Il diario di Bridget Jones, con Renée Zellweger, Colin Firth e Hugh Grant.
Nel 2003 ha scritto e diretto Love Actually – L’amore davvero, una storia che racconta molti diversi tipi di amore, ambientata a Natale e con 22 personaggi protagonisti. Ha anche co-sceneggiato Che pasticcio, Bridget Jones!.
Nel 2005 ha scritto The Girl InThe Cafe, un dramma televisivo che si svolge intorno al summit dei G8 e che ha ricevuto, nel 2006, tre Emmy.
Richard Curtis è co-fondatore e vice-chairman della Comic Relief, l’organizzazione che si occupa del Red Nose Day (la Giornata dei Nasi Rossi) in Inghilterra. Ha cominciato questo grande progetto di beneficenza dopo un viaggio in Etiopia nel corso della carestia del 1985. Dal 1987 ha co-prodotto le 10 serate live del Comic Relief per la BBC. Il Comic Relief ha raccolto più di 500 milioni di sterline per progetti di beneficenza in Africa e nel Regno Unito.
Curtis è stato un membro fondatore del gruppo Make Poverty History e ha lavorato per tutto il 2004 e 2005 sulla campagna dello stesso e sul Live 8, che si concentrava sulla giustizia nel commercio, sulla richiesta di aiuti migliori e più numerosi e sulla cancellazione del debito dei paesi più poveri del mondo.
Ad aprile 2007 Curtis è stato produttore esecutivo di Idol Gives Back per lo show della FOX American Idol. Gli spettacoli hanno raccolto più di 75 milioni di dollari per progetti di aiuto ai bambini e ai giovani più poveri negli USA e in Africa. Idol Gives Back ha ricevuto un Emmy del Governo nel 2007.
Nel 2000, è stato nominato CBE e, nel 2007, premiato con un BAFTA Fellowship.