Richard Curtis è nato in Nuova Zelanda nel 1956 e cresciuto nelle Filippine, in Svezia e Inghilterra. Vive a Londra, tra viaggi e ritorni, da più di 35 anni. Curtis ha cominciato a scrivere commedie dopo aver lasciato l'Università di Oxford nel 1978. A Oxford, Curtis aveva lavorato con Rowan Atkinson, e ha continuato a farlo. Il suo primo lavoro per la televisione è stato scrivere per programma di sketch d'attualità della BBC Not the Nine O'Clock News. Ha continuato scrivendo la serie The Black Adder, una situation comedy ambientata in quattro periodi differenti della storia inglese, con Rowan Atkinson come protagonista ogni volta con una divertente nuova pettinatura. Le ultime tre stagioni Curtis le ha scritte insieme a Ben Elton.
In questi anni, Curtis, Atkinson e Elton hanno messo in scena due revues comiche al West End di Londra e Curtis ha scritto il suo primo film, Due metri di allergia, diretto da Mel Smith con Jeff Goldblum e Emma Thompson al suo esordio cinematografico. Il film è stato prodotto dalla Working Title, la società di produzione con la quale da allora Curtis ha sempre lavorato.
Tornati alla televisione, Curtis e Atkinson hanno cominciato a lavorare a Mr. Bean, e hanno continuato per svariati anni a fare programmi intermittenti con protagonista l'uomo con la cravatta che parla pochissimo. Mr. Bean è diventato uno delle creazioni comiche più famose al mondo. Nel 1993, Curtis ha scritto Bernard and the Genie, una fantasia natalizia con Lenny Henry e Alan Cumming. A dicembre 1993, Curtis ha ricevuto il Writers Guild of Great Britain Award come Scrittore Top di Commedie.
Il secondo film di Curtis, Quattro matrimoni e un funerale, è stato diretto da Mike Newell, prodotto da Duncan Kenworthy e interpretato da Hugh Grant e Andie MacDowell. Il film è uscito nelle sale a marzo 1994. Il film ha vinto il premio francese César, un Australian Film Institute Award e un BAFTA per Miglior Film. Agli Oscar®, il film è stato candidato per Migliore Sceneggiatura Originale e Miglior Film.
Il suo film successvo, Notting Hill, interpretato da Julia Roberts e Hugh Grant, è uscito a maggio 1999 - e per un lungo periodo è stato il film inglese con i maggiori incassi di tutti i tempi.
Curtis è stato co-sceneggiatore di Bean, con Atkinson come protagonista, e di Il diario di Bridget Jones, interpretato da Renée Zellweger, Colin Firth e Hugh Grant. Nel 2003 ha scritto e diretto Love Actually - L'amore davvero, una storia ambientata durante il periodo natalizio che racconta molti diversi tipi di amore. Il film ha 22 protagonisti, tra cui Firth, Grant, Thompson, Bill Nighy, Liam Neeson, Martin Freeman e Billy Bob Thornton. Ha anche collaborato alla sceneggiatura di Che pasticcio, Bridget Jones!. Nel 2005, Curtis ha scritto The Girl In The Cafe, un dramma televisivo per la HBO e la BBC che si svolge intorno al summit dei G8. Interpretato da Nighy e Kelly Macdonald, il film ha vinto tre Primetime Emmy Awards. Nel frattempo, Curtis scriveva The Vicar of Dibley, una sitcom su un parroco donna in un piccolo villaggio inglese. The Black Adder e The Vicar of Dibley sono state votate come la seconda e terza sitcom inglese più popolare di tutti i tempi. Nel 2008, Curtis ha co-sceneggiato The No. 1 Ladies' Detective Agency, con Anthony Minghella. Nello stesso anno, Curtis ha scritto e diretto I love Radio Rock, una commedia su una stazione radio pirata del 1966. Nel 2011, ha collaborato a scrivere War Horse di Steven Spielberg.
Nel 2012, Curtis ha scritto il film TV per la BBC/HBO Mary and Martha, su due madri che perdono i loro figli a causa della malaria. Diretto da Phillip Noyce, il film è interpretato da Hilary Swank e Brenda Blethyn. Nel 2013 esce il nuovo film da regista Questione di tempo, con Rachel McAdams e Domhnall Gleeson.
Curtis è co-fondatore e vice-presidente della Comic Relief, l'organizzazione che si occupa del Red Nose Day (la Giornata dei Nasi Rossi) e Sport Relief in Inghilterra. Ha dato il via a questo grande progetto di beneficenza dopo un viaggio in Etiopia nel corso della carestia del 1985. Dal 1988, Curtis ha co-prodotto le 14 serate live del Comic Relief per la BBC. Il Comic Relief ha raccolto più di 1 miliardo di sterline per progetti di beneficenza in Africa e nel Regno Unito. Curtis è stato un membro fondatore del gruppo Make Poverty History e ha lavorato per tutto il 2004 e 2005 sulla campagna dello stesso e sul Live 8, che si concentrava sulla giustizia nel commercio, sulla richiesta di aiuti migliori e più numerosi e sulla cancellazione del debito dei paesi più poveri del mondo. Ad aprile 2007 Curtis è stato produttore esecutivo di Idol Gives Back per lo show americano American Idol. Gli spettacoli hanno raccolto più di 75 milioni di dollari per progetti di aiuto ai bambini e ai giovani più poveri negli USA e in Africa. Idol Gives Back ha ricevuto un Emmy del Governo nel 2007. Curtis è sposato con Emma Freud. I due hanno una figlia, Scarlett, e tre figli, Jake, Charlie e Spike. Nel 2000, Curtis è stato nominato Commander of the Order of the British Empire (CBE). Nel 2007, è stato premiato con un BAFTA Fellowship.