Nato a Montreal ma cresciuto a San Diego, Alvarez comincia a studiare danza classica e nel 2005 ottiene una borsa di studio per l'American Ballet Theatre (ABT), trasferendosi a New York.
Nel 2008 ha interpretato Billy Elliot nel musical tratto dal film di Stephen Daldry a Broadway; per la sua performance, Alvarez e gli altri due ballerini hanno vinto il Theatre World Award, l'Outer Critics Circle Award ed il Tony Award al miglior attore protagonista in un musical. Dopo il successo a Broadway, si arruola nell'esercito, servendo nella 25th Infantry Division per trenta mesi. Nel 2014 torna a danzare a Broadway nel musical di Leonard Bernstein "On The Town".
Nel 2021 debutta nel mondo del cinema nel film di Steven Spielberg West Side Story, in cui interpreta il co-protagonista Bernardo.
