Diplomatosi all'Accademia Nazionale d'Arte Drammatica di Roma, esordì nel 1947 al Piccolo Teatro di Milano nel Don Giovanni di Molière, per passare poi, l'anno dopo, al Piccolo di Roma, con la Compagnia Pagnani-Cervi; dal 1950 al 1952 lo troviamo nella Compagnia del teatro Nazionale, diretta da Guido Salvini, per ritornare poi l'anno dopo, a far parte del Piccolo di Milano, dove fu diretto da Giorgio Strehler. Da allora la sua carriera teatrale non conobbe soste; di successo in successo, Sbragia interpretò con stile e duttilità incomparabili la maggior parte delle più celebri opere del repertorio teatrale classico e moderno, dedicandosi contemporaneamente al doppiaggio, alla regia, all'attività radiofonica, a quella di scrittore teatrale (un suo lavoro, Le veglie inutili, vinse il Premio Borletti). Al contrario, la sua presenza nel mondo del cinema rimase del tutto secondaria; dopo avere esordito nel 1951 in uno short diretto da Alberto Moravia, E' tutta colpa del sole, per il primo numero di Documento mensile n.1, la rivista cinematografica di Roberto Ghione e Marco Ferreri, fu chiamato per il suo bellissimo timbro di voce a fare il narratore in due documentari, All'armi, siam fascisti, del 1962, e Italia proibita, del 1963. In seguito apparve in pochi film, sempre in parti di secondo piano, poco significative e davvero inadeguate al suo talento; fra queste, merita di essere ricordata la sua interpretazione in Laura nuda (1961, Niccolò Ferrari). Attivissimo in TV, affrontò ruoli diversi in numerosi sceneggiati, fra i quali rimase memorabile la sua interpretazione di Napoleone in I grandi camaleonti (1964). Le sue apparizioni sul piccolo schermo durarono fino al 1980, anno in cui prese parte a Quaderno proibito. Fu sposato con l'attrice Esmeralda Ruspoli.